O gráfico da função f, definida por f(x) = \cos x, e o gráfico da função g, quando representados no mesmo sistema de coordenadas, possuem somente dois pontos em comum.
Assim, das alternativas abaixo, a que pode representar a função g é
UFRGS · 2015
Questão 38 — UFRGS 2015
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
O cosseno vive entre −1 e 1. Qual das funções sai dessa faixa logo e não volta mais?
Resolução
O que você precisa saber
- O cosseno oscila para sempre entre menos 1 e 1.
- Seno ao quadrado mais cosseno ao quadrado é sempre 1.
- Uma curva que se aproxima de 0 ou fica nessa faixa cruza o cosseno infinitas vezes.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: a única função que encontra o cosseno em exatamente dois pontos.
ESTRUTURAR
Para cada alternativa, ver se a curva fica na faixa entre −1 e 1 por um trecho longo (muitos encontros) ou curto.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Eliminar as funções que cruzam o cosseno infinitas vezes ou mais de duas vezes.
A armadilha: achar que 2^x cruza o cosseno poucas vezes, esquecendo o lado negativo do eixo x.
CALCULAR
A. g(x) = 1: encontra o cosseno em todo x = 2k\pi, infinitas vezes.
B. x^2 = \cos x: para |x| > 1, x^2 > 1 \ge \cos x. Entre 0 e 1, x^2 sobe e \cos x desce, então há um único encontro; por simetria, outro do lado negativo. Exatamente 2.
C. Para x negativo, 2^x fica perto de 0 e o cosseno passa por 0 infinitas vezes.
D. \log x fica entre 0 e 1 para x entre 1 e 10, e o cosseno cruza essa faixa mais de duas vezes nesse trecho.
E. \operatorname{sen} x = \cos x em todo x = \frac{\pi}{4} + k\pi, infinitas vezes.
CONFERIR
Em B: x^2 - \cos x vale -1 em x = 0 e 1 - \cos 1 > 0 em x = 1: uma raiz entre 0 e 1, e a outra é a simétrica ✓.
Por que as outras tentam: A parece "uma função só" mas é a constante 1; C e E parecem curvas simples, mas encontram o cosseno sem parar.
Resposta
g(x) = x^2.
Alternativa correta
B