Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Observe a figura abaixo.
Na figura, um triângulo equilátero está inscrito em um círculo, e um hexágono regular está circunscrito ao mesmo círculo. Quando se lança um dardo aleatoriamente, ele atinge o desenho.
A probabilidade de que o dardo não tenha atingido a região triangular é
Chame o raio do círculo de R. O triângulo tem lado R\sqrt3; o hexágono tem apótema R. Compare as áreas.
O que a questão quer de verdade: calcular 1 − (área do triângulo)/(área do hexágono).
Triângulo: \dfrac{\sqrt3}{4}(R\sqrt3)^2 = \dfrac{3\sqrt3}{4}R^2.
Hexágono de apótema R: lado \dfrac{2R}{\sqrt3}, área 6 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2R}{\sqrt3} \cdot R = 2\sqrt3\,R^2.
Dividir e subtrair de 1.
A armadilha: usar R como lado do hexágono (isso vale para o hexágono inscrito, não para o circunscrito).
Com R = 2: triângulo de lado 2\sqrt3, área 3\sqrt3 \approx 5{,}20; hexágono de área 8\sqrt3 \approx 13{,}86; razão \approx 0{,}375 ✓.
Por que as outras tentam: com a armadilha (hexágono de lado R), a razão seria 1/2 e a resposta 50%, que nem está nas alternativas, sinal de que o hexágono foi tomado errado.
62,5%.
