Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
As únicas raízes reais do polinômio p(x) dado pelo determinante a seguir são −2 e −1.
p(x) = \det MM = \begin{pmatrix} q(x) & x + 2 & x^2 + 2x \\ x^2 + x & 0 & 1 \\ x + 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}Sabendo-se que o polinômio q(x) = ax^2 + bx + c (com a, b e c constantes) tem as mesmas raízes reais de p(x), é correto afirmar que:
Expanda o determinante pela 1ª coluna ou pela 1ª linha e ponha (x + 2) em evidência. Como q tem raízes −2 e −1, escreva q(x) = a(x + 2)(x + 1).
O que a questão quer de verdade: o sinal do discriminante de q e a condição sobre a para que p não tenha outras raízes reais além de −2 e −1.
Pela 1ª linha:
p = q \cdot (0 - 1)\quad - (x + 2)\big[(x^2 + x) - (x + 1)\big]\quad + (x^2 + 2x)(x^2 + x)p = -q - (x + 2)(x^2 - 1)\quad + x^2(x + 2)(x + 1)p = -q + (x + 2)(x^3 + 1)Usar x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1) e q = a(x + 2)(x + 1) para fatorar p.
A armadilha: achar que "mesmas raízes de p" quer dizer q sem raízes reais. q tem duas raízes reais distintas (−2 e −1), então o discriminante de q é positivo; quem precisa não ter raízes é o fator que sobra em p.
Para não haver outras raízes reais, x^2 - x + (1 - a) não pode ter raiz real:
1 - 4(1 - a) < 0 \Rightarrow 4a < 3 \Rightarrow a < \frac{3}{4}E q tem raízes reais distintas: b^2 - 4ac > 0.
Exemplo: a = \frac{1}{2}. q = \frac{1}{2}(x^2 + 3x + 2), discriminante \frac{9}{4} - 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{4} > 0. O fator x^2 - x + \frac{1}{2} tem discriminante 1 - 2 < 0. As únicas raízes reais de p são −2 e −1. (Com a = 3 ou a = 7, esse fator teria raiz −1 ou −2, mas também uma raiz nova, 2 ou 3, então esses casos não servem.) Alternativa C.
b^2 - 4ac > 0 e a < \dfrac{3}{4}.
