Os ângulos internos de um polígono convexo de 20 lados estão em progressão aritmética com razão de 4° (graus). Qual é o produto em graus entre o maior ângulo interno e o menor ângulo interno desse polígono?
UFPR · 2023
Questão 16 — UFPR 2023
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
A soma dos ângulos internos de um polígono de 20 lados é (20 - 2) \cdot 180°. Divida por 20 e você tem a média, que numa PA é a média entre o primeiro e o último termo.
Resolução
O que você precisa saber
- Soma dos ângulos internos de um polígono de n lados: (n − 2) · 180°.
- Numa PA, a média dos termos é a média entre o primeiro e o último.
- Num polígono convexo, cada ângulo interno é menor que 180°.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: o menor e o maior ângulo da PA e o produto entre eles.
ESTRUTURAR
• Soma: 18 \cdot 180° = 3240°. Média: \dfrac{3240}{20} = 162°.
• a_1 + a_{20} = 2 \cdot 162 = 324.
• a_{20} - a_1 = 19 \cdot 4 = 76.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Resolver o sistema soma/diferença para a_1 e a_{20}.
A armadilha: usar 20 \cdot 4 = 80 como diferença entre o último e o primeiro termo. De a_1 até a_{20} há 19 saltos, não 20.
CALCULAR
a_{20} = \frac{324 + 76}{2} = 200a_1 = \frac{324 - 76}{2} = 124124 \cdot 200 = 24\,800CONFERIR
A soma da PA é \frac{(124 + 200) \cdot 20}{2} = 3240. A conta pedida dá 24 800 (alternativa C).
Atenção: o maior ângulo, 200°, passa de 180°, o que não acontece num polígono convexo. Os dados do enunciado são incompatíveis com a palavra "convexo". A resposta C é a que sai das contas e a que aparece no gabarito.
Resposta
24 800 (com a ressalva de que um ângulo de 200° não cabe num polígono convexo).
Alternativa correta
C