Encontre um termo.
Na PA 7, 12, 17, ...:
\[a_8=7+7\cdot5=42\]
PROGRESSÃO ARITMÉTICANa PA, cada passo
Na PA, cada passo
soma a mesma mudança.
A razão de uma PA é a diferença constante entre termos consecutivos. Essa estrutura transforma posição em crescimento linear.
TERMO GERAL
A posição conta quantas vezes a razão foi adicionada.
\[a_n=a_1+(n-1)r\]
Em 4, 7, 10, 13, ... temos a₁ = 4 e r = 3. Logo:
\[a_{10}=4+9\cdot3=31\]
Somar uma PA é combinar extremos simétricos.
\[S_n=\frac{n(a_1+a_n)}2\]
Na PA 2, 5, 8, 11, 14, a soma dos cinco termos é:
\[S_5=\frac{5(2+14)}2=40\]
Descubra a posição.
Na PA 4, 9, 14, ..., em que posição aparece 49?
\[49=4+(n-1)5\Rightarrow n=10\]
Some sem listar tudo.
Na PA 3, 6, 9, ..., até 30:
\[S_{10}=\frac{10(3+30)}2=165\]
PA DE 2ª ORDEM
A diferença não é constante — mas as diferenças também podem formar uma PA.
Em uma PA de segunda ordem, os termos originais não formam uma PA comum. O que forma uma PA são as diferenças entre termos consecutivos. Por isso, as diferenças de segunda ordem ficam constantes.
\[2,\ 5,\ 10,\ 17,\ 26,\ldots\]
As diferenças de 1ª ordem são:
\[3,\ 5,\ 7,\ 9,\ldots\]
Elas formam uma PA de razão 2. Logo, as diferenças de 2ª ordem são:
\[2,\ 2,\ 2,\ldots\]
A simetria da PA evita contas longas.
O termo central é a média dos vizinhos.
\[2a_n=a_{n-1}+a_{n+1}\]
Termos simétricos têm soma constante.
\[a_1+a_n=a_2+a_{n-1}\]
PA também pode ser decrescente.
10, 7, 4, 1, ... tem r = −3.
Leia se a questão pede um termo ou uma soma.
Uma arquibancada tem 18 lugares na primeira fileira e cada fileira seguinte possui 4 lugares a mais. Quantos lugares há na 12ª fileira?
INTERPRETAR. O número de lugares cresce por adição constante.
ESTRUTURAR. a₁ = 18, r = 4 e n = 12.
CALCULAR.
\[a_{12}=18+11\cdot4=62\]
CONFERIR. A pergunta pede apenas a 12ª fileira, não o total das 12 fileiras.