Dada a equação 2x^4 - 7x^3 - 8x^2 + 14x = -8. Sendo M a soma das raízes reais e N o produto das raízes irracionais da equação, o valor numérico de \frac{M + 1}{1 - N} é
Questão 9 — UCPel 2021
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Passe o -8 para o primeiro membro: 2x^4 - 7x^3 - 8x^2 + 14x + 8 = 0. Procure raízes racionais \frac{p}{q} (teste 4 e -\frac12).
Resolução
- Raízes racionais p/q: p divide 8 e q divide 2.
- Dividindo pelos fatores das raízes achadas, sobra um 2º grau.
- Soma das raízes de ax⁴ + bx³ + … é −b/a.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: achar as quatro raízes, separar as irracionais e calcular M e N.
ESTRUTURAR
P(x) = 2x^4 - 7x^3 - 8x^2 + 14x + 8• Testes: P(4) = 512 - 448 - 128 + 56 + 8 = 0 e P\left(-\frac12\right) = \frac18 + \frac78 - 2 - 7 + 8 = 0.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Fatorar P(x) = (x - 4)(2x + 1) \cdot Q(x), resolver Q(x) = 0 e montar M e N.
A armadilha: tomar N como o produto de todas as raízes (por Girard, \frac82 = 4), quando a questão pede só o das irracionais. Girard só serve para M depois de confirmar que as quatro raízes são reais.
CALCULAR
(x - 4)(2x + 1) = 2x^2 - 7x - 4P(x) = (2x^2 - 7x - 4)(x^2 - 2)x^2 - 2 = 0 \Rightarrow x = \pm\sqrt2Raízes: 4, -\frac12, \sqrt2, -\sqrt2, todas reais.
M = 4 - \frac12 + \sqrt2 - \sqrt2 = \frac72N = \sqrt2 \cdot (-\sqrt2) = -2\frac{M + 1}{1 - N} = \frac{\frac92}{3} = \frac32CONFERIR
Produto: (2x^2 - 7x - 4)(x^2 - 2) = 2x^4 - 7x^3 - 4x^2 - 4x^2 + 14x + 8 = 2x^4 - 7x^3 - 8x^2 + 14x + 8. Confere. Girard: soma \frac72, igual a M. Alternativa A.
Por que as outras tentam: B (\frac23) é a fração invertida. Com N = 4 (produto de todas as raízes), 1 - N = -3 e o resultado seria -\frac32, que não está nas opções. C, D e E vêm de erros na soma M.
\dfrac{M + 1}{1 - N} = \dfrac{3}{2}.