Seja a equação 2x^2(x^2 - 1) - x(5x^2 + 4) + 3 = 0. Pode-se afirmar que essa equação
UCPel · 2016
Questão 17 — UCPel 2016
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Desenvolva até a forma 2x^4 - 5x^3 - 2x^2 - 4x + 3 = 0. Teste candidatas a raiz racional da forma \frac{p}{q}, com p divisor de 3 e q divisor de 2.
Resolução
O que você precisa saber
- Raízes racionais p/q: p divide o termo independente e q divide o coeficiente líder.
- Achadas duas raízes, divida o polinômio pelo produto dos fatores e resolva o 2º grau que sobra.
- Se o discriminante do 2º grau é negativo, as duas raízes são não reais (complexas conjugadas).
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: descobrir quantas raízes reais e quantas não reais a equação de grau 4 tem.
ESTRUTURAR
2x^4 - 2x^2 - 5x^3 - 4x + 3 = 0\Rightarrow 2x^4 - 5x^3 - 2x^2 - 4x + 3= 0• Candidatas: \pm 1, \pm 3, \pm \frac12, \pm \frac32.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Testar candidatas, fatorar e analisar o quociente de 2º grau.
A armadilha: testar só x = 1 (que não é raiz) e concluir que não há raízes racionais (alternativa C).
CALCULAR
P(3) = 162 - 135 - 18 - 12 + 3 = 0P\left(\tfrac12\right) = \tfrac{2}{16} - \tfrac{5}{8} - \tfrac{2}{4} - 2 + 3 = 0(x - 3)(2x - 1) = 2x^2 - 7x + 32x^4 - 5x^3 - 2x^2 - 4x + 3= (2x^2 - 7x + 3)(x^2 + x + 1)No fator x^2 + x + 1 = 0:
\Delta = 1 - 4 = -3 < 0CONFERIR
Conferência do produto: (2x^2 - 7x + 3)(x^2 + x + 1) = 2x^4 + 2x^3 + 2x^2 - 7x^3 - 7x^2 - 7x + 3x^2 + 3x + 3 = 2x^4 - 5x^3 - 2x^2 - 4x + 3. Raízes: 3, \frac12 e duas não reais. Alternativa E.
Por que as outras tentam: A esquece de olhar o \Delta do quociente. C cai para quem só testa \pm1: P(1) = -6 e P(-1) = 12. B e D não acontecem: as raízes reais 3 e \frac12 são simples, e 1 nem é raiz.
Resposta
A equação tem duas raízes reais (3 e \frac12) e duas raízes não reais.
Alternativa correta
E