Considerando as expressões
M = \operatorname{sen}^4 x - \cos^4 x \text{ e}N = 1 - 2\cos^2 x,é correto afirmar que
UCPel · 2016
Questão 16 — UCPel 2016
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
\operatorname{sen}^4 x - \cos^4 x é uma diferença de quadrados. Fatore e use \operatorname{sen}^2 x + \cos^2 x = 1.
Resolução
O que você precisa saber
- a² − b² = (a − b)(a + b).
- sen² x + cos² x = 1.
- cos 2x = cos² x − sen² x = 2cos² x − 1.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: simplificar M e N até chegar à mesma expressão e descobrir a relação entre elas.
ESTRUTURAR
• M = (\operatorname{sen}^2 x - \cos^2 x)(\operatorname{sen}^2 x + \cos^2 x).
• O segundo fator vale 1.
• N = 1 - 2\cos^2 x: troque o 1 por \operatorname{sen}^2 x + \cos^2 x.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Reduzir as duas expressões a \operatorname{sen}^2 x - \cos^2 x e comparar.
A armadilha: tentar \operatorname{sen}^4 x - \cos^4 x = (\operatorname{sen} x - \cos x)^4 ou parar sem fatorar.
CALCULAR
M = (\operatorname{sen}^2 x - \cos^2 x) \cdot 1= \operatorname{sen}^2 x - \cos^2 xN = \operatorname{sen}^2 x + \cos^2 x - 2\cos^2 x= \operatorname{sen}^2 x - \cos^2 xM = N \Rightarrow M - N = 0CONFERIR
Teste com x = 0: M = 0 - 1 = -1 e N = 1 - 2 = -1. São iguais. Com x = \frac{\pi}{2}: M = 1 e N = 1. Alternativa B.
Por que as outras tentam: A (M + N = 0) é de quem erra um sinal e acha M = \cos^2 x - \operatorname{sen}^2 x. No teste com x = 0, M + N = -2, -2N = 2, M + 1 = 0 e N + 1 = 0, e nenhuma dessas relações fecha.
Resposta
M = N, ou seja, M - N = 0. As duas valem -\cos 2x.
Alternativa correta
B