Se \operatorname{tg} \alpha = 2 com 0 < \alpha < \frac{\pi}{2}, então \operatorname{sen} 2\alpha é igual a
UCPel · 2017
Questão 17 — UCPel 2017
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Monte um triângulo retângulo com cateto oposto 2 e cateto adjacente 1. A hipotenusa sai por Pitágoras. Depois use \operatorname{sen} 2\alpha = 2 \operatorname{sen} \alpha \cos \alpha.
Resolução
O que você precisa saber
- sen 2α = 2 sen α cos α.
- tg α = cateto oposto / cateto adjacente.
- Seno e cosseno nunca passam de 1.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: sair da tangente para o seno e o cosseno do mesmo ângulo e aplicar a fórmula do arco duplo.
ESTRUTURAR
• Triângulo: oposto 2, adjacente 1, hipotenusa \sqrt{1 + 4} = \sqrt5.
• \operatorname{sen} \alpha = \frac{2}{\sqrt5} e \cos \alpha = \frac{1}{\sqrt5} (positivos, porque \alpha é agudo).
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Aplicar \operatorname{sen} 2\alpha = 2 \operatorname{sen} \alpha \cos \alpha.
A armadilha: achar que \operatorname{sen} 2\alpha = 2 \operatorname{sen} \alpha ou marcar um valor maior que 1 (A, B e C são impossíveis para um seno).
CALCULAR
\operatorname{sen} 2\alpha = 2 \cdot \frac{2}{\sqrt5} \cdot \frac{1}{\sqrt5} = \frac{4}{5}CONFERIR
Pela fórmula direta: \operatorname{sen} 2\alpha = \frac{2\operatorname{tg} \alpha}{1 + \operatorname{tg}^2 \alpha} = \frac{4}{5}. Alternativa E.
Por que as outras tentam: A, B e C são maiores que 1, impossíveis para um seno; \frac43 é \operatorname{tg} 2\alpha sem o sinal (o valor certo é -\frac43). D (\frac25) esquece o fator 2 da fórmula.
Resposta
\operatorname{sen} 2\alpha = \dfrac{4}{5}.
Alternativa correta
E