Sabendo que x está no intervalo \left(0, \frac{\pi}{2}\right), com \sec x = \sqrt{5}. Nessas condições, desenvolvendo-se a expressão
E = (\operatorname{tg}^2 x)(\frac{1}{1 - \cos x} + \frac{1}{1 + \cos x}),
obtém-se o valor de E igual a
UCPel · 2019
Questão 19 — UCPel 2019
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Some as duas frações: o denominador comum é 1 - \cos^2 x = \operatorname{sen}^2 x. Para \operatorname{tg}^2 x, use \sec^2 x = 1 + \operatorname{tg}^2 x.
Resolução
O que você precisa saber
- sec x = 1 / cos x.
- sec² x = 1 + tg² x.
- (1 − cos x)(1 + cos x) = 1 − cos² x = sen² x.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: simplificar a expressão com identidades e trocar os valores a partir de \sec x = \sqrt{5}.
ESTRUTURAR
• \operatorname{tg}^2 x = \sec^2 x - 1 = 5 - 1 = 4.
• \cos x = \frac{1}{\sqrt5}, então \cos^2 x = \frac15 e \operatorname{sen}^2 x = \frac45.
• \frac{1}{1 - \cos x} + \frac{1}{1 + \cos x} = \frac{2}{1 - \cos^2 x} = \frac{2}{\operatorname{sen}^2 x}.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Simplificar a soma das frações antes de substituir, para não carregar raízes.
A armadilha: substituir \cos x = \frac{1}{\sqrt5} direto nas frações e se perder na racionalização.
CALCULAR
\frac{2}{\operatorname{sen}^2 x} = \frac{2}{4/5} = \frac{5}{2}E = 4 \cdot \frac{5}{2} = 10CONFERIR
Outra forma: \operatorname{tg}^2 x \cdot \frac{2}{\operatorname{sen}^2 x} = \frac{\operatorname{sen}^2 x}{\cos^2 x} \cdot \frac{2}{\operatorname{sen}^2 x} = \frac{2}{\cos^2 x} = 2\sec^2 x = 2 \cdot 5 = 10. Alternativa A.
Por que as outras tentam: 5 (D) é \sec^2 x, de quem esquece o fator 2 da soma das frações. As alternativas com raiz são de quem usa \sec x = \sqrt5 sem elevar ao quadrado.
Resposta
E = 10.
Alternativa correta
A