Sendo m + n = -2 e \frac{a}{b} = 2, pode-se afirmar que a expressão
\frac{\left(a + \frac1b\right)^m \cdot \left(a - \frac1b\right)^n}{\left(b + \frac1a\right)^m \cdot \left(b - \frac1a\right)^n}é igual a
UCPel · 2017
Questão 18 — UCPel 2017
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Escreva cada parêntese como uma fração só: a + \frac1b = \frac{ab + 1}{b} e b + \frac1a = \frac{ab + 1}{a}. O que sobra quando você divide um pelo outro?
Resolução
O que você precisa saber
- Quociente de potências com o mesmo expoente: x elevado a m dividido por y elevado a m é (x/y) elevado a m.
- Produto de potências de mesma base: some os expoentes.
- 2 elevado a −2 é 1/4.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: perceber que cada par de parênteses (o de cima e o de baixo com o mesmo expoente) se divide em \frac{a}{b}.
ESTRUTURAR
• \dfrac{a + \frac1b}{b + \frac1a} = \dfrac{\frac{ab+1}{b}}{\frac{ab+1}{a}} = \dfrac{a}{b}.
• \dfrac{a - \frac1b}{b - \frac1a} = \dfrac{\frac{ab-1}{b}}{\frac{ab-1}{a}} = \dfrac{a}{b} (supondo ab \neq 1 para a expressão existir).
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Reagrupar a expressão como \left(\frac{a}{b}\right)^m \cdot \left(\frac{a}{b}\right)^n e usar m + n = -2.
A armadilha: tentar achar a, b, m e n separadamente. Não é preciso (e não dá): só a razão e a soma importam.
CALCULAR
E = \left(\frac{a}{b}\right)^m \cdot \left(\frac{a}{b}\right)^n = \left(\frac{a}{b}\right)^{m+n}E = 2^{-2} = \frac14CONFERIR
Teste: a = 2, b = 1, m = -1, n = -1. Em cima: 3^{-1} \cdot 1^{-1} = \frac13. Embaixo: \left(\frac32\right)^{-1} \cdot \left(\frac12\right)^{-1} = \frac23 \cdot 2 = \frac43. Razão: \frac13 \div \frac43 = \frac14. Alternativa A.
Por que as outras tentam: D (4) é 2^{2}, de quem perde o sinal do expoente. B e E (\frac12 e 2) usam só um dos expoentes. C (0) não tem relação com a conta.
Resposta
A expressão vale \dfrac{1}{4}.
Alternativa correta
A