Considerando \alpha e \beta os ângulos agudos de um triângulo retângulo e P = \operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{tg} \beta.
A área de uma superfície esférica cujo raio mede P é equivalente a
UCPel · 2021
Questão 10 — UCPel 2021
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Os ângulos agudos de um triângulo retângulo são complementares. Escreva as duas tangentes com os catetos do mesmo triângulo.
Resolução
O que você precisa saber
- α + β = 90° nos ângulos agudos de um triângulo retângulo.
- tg β = 1 / tg α quando α e β são complementares.
- Área da superfície esférica: A = 4πr².
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: descobrir que P = 1 e calcular a área da esfera de raio 1.
ESTRUTURAR
• Catetos b e c: \operatorname{tg} \alpha = \frac{b}{c} e \operatorname{tg} \beta = \frac{c}{b}.
• P = \frac{b}{c} \cdot \frac{c}{b} = 1.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Calcular P e aplicar A = 4\pi r^2.
A armadilha: usar a fórmula do volume (\frac43\pi r^3) ou da área do círculo (\pi r^2).
CALCULAR
A = 4\pi \cdot 1^2 = 4\piCONFERIR
Exemplo: triângulo 3–4–5, \operatorname{tg} \alpha = \frac34 e \operatorname{tg} \beta = \frac43, produto 1. Alternativa D.
Por que as outras tentam: 16π (C) é 4\pi \cdot 2^2, de quem acha P = 2. 36π (E) é 4\pi \cdot 3^2. 8π (A) e 32π (B) dobram esses valores.
Resposta
4\pi unidades de área.
Alternativa correta
D