Dadas as funções
f(x) = x + 1,g(x) = 2 - 3x \text{ e}h(x) = 2x - 1e, se x é o número real que satisfaz a equação
(f \circ f)(x) + (f \circ h)(5)= h(x) - (f \circ g)(x),então pode-se afirmar que o valor de
\log_x (3x + 4) + \log_x x^xé
UCPel · 2019
Questão 16 — UCPel 2019
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Monte cada composta pela regra "aplica a de dentro, depois a de fora". Ache x na equação do 1º grau e só então calcule os logaritmos.
Resolução
O que você precisa saber
- (f∘g)(x) = f(g(x)): primeiro g, depois f.
- (f∘h)(5) é um número: calcule h(5) e aplique f.
- log de base x de x elevado a k vale k.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: descobrir o x escondido na equação das compostas e usar esse valor como base e como expoente dos logaritmos.
ESTRUTURAR
• (f \circ f)(x) = f(x + 1) = x + 2.
• (f \circ h)(5) = f(h(5)) = f(9) = 10.
• (f \circ g)(x) = f(2 - 3x) = 3 - 3x.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Substituir as três expressões na equação, resolver o 1º grau e calcular \log_x(3x+4) e \log_x x^x separadamente.
A armadilha: tratar (f \circ h)(5) como uma expressão em x (ela é um número) ou inverter a ordem da composição.
CALCULAR
x + 2 + 10 = (2x - 1) - (3 - 3x)x + 12 = 5x - 4\Rightarrow 4x = 16\Rightarrow x = 4\log_4 (3 \cdot 4 + 4) = \log_4 16 = 2\log_4 4^4 = 42 + 4 = 6CONFERIR
Conferência na equação: com x = 4, o lado esquerdo dá 6 + 10 = 16 e o direito dá 7 - (-9) = 16. Confere. Alternativa E.
Por que as outras tentam: 16 (A) é o próprio 3x + 4, de quem esquece de tirar o logaritmo. 8 (C) aparece para quem confunde \log_4 16 com 16 \div 4 = 4 e soma com 4. 12 e 14 são valores próximos para quem erra a equação de x.
Resposta
O valor é 6.
Alternativa correta
E