UCPel · 2017

Questão 22 — UCPel 2017

Logaritmos: condição de existência Média

Antes da resolução

Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.

Seja a função real f(x) = \log_{(x+2)} (2x^2 - 5x + 2).

A função f(x) dada está definida no conjunto dos números reais x, tais que

(A)

-2 \leq x \leq \frac12 ou x > 2 e x \neq -1

(B)

-2 < x < \frac12 ou x > 2 e x = -1

(C)

-2 < x \leq \frac12 ou x < 2 e x \neq -1

(D)

-2 \leq x < \frac12 ou x > 2 e x = -1

(E)

-2 < x < \frac12 ou x > 2 e x \neq -1

Resolução

O que você precisa saber

log_b A existe quando A > 0, b > 0 e b ≠ 1.
Inequação do 2º grau: ache as raízes e veja o sinal da parábola.
Desigualdade estrita (>) deixa os extremos de fora.

INTERPRETAR

O que a questão quer de verdade: o domínio da função, juntando as condições sobre a base e sobre o logaritmando.

ESTRUTURAR

• Base: x + 2 > 0 \Rightarrow x > -2 e x + 2 \neq 1 \Rightarrow x \neq -1.

• Logaritmando: 2x^2 - 5x + 2 > 0.

ESCOLHER ESTRATÉGIA

Resolver a inequação do 2º grau e fazer a interseção com as condições da base.

A armadilha: aceitar os extremos (\leq) ou esquecer a restrição x \neq -1.

CALCULAR

2x^2 - 5x + 2 = 0\Rightarrow x = \frac{5 \pm 3}{4}\Rightarrow x = \frac12 \ \text{ou} \ x = 2

Parábola com concavidade para cima: positiva para x < \frac12 ou x > 2.

Interseção com x > -2 e x \neq -1:

-2 < x < \frac12 \ \text{ou} \ x > 2, \ \text{com} \ x \neq -1

CONFERIR

Testes: x = 0 dá \log_2 2 = 1, existe. x = -1 dá base 1, não existe. x = \frac12 dá logaritmando 0, não existe. x = 3 dá \log_5 5 = 1, existe. Alternativa E.

Por que as outras tentam: A e D incluem -2 (base 0) ou \frac12 (logaritmando 0). B e D colocam "x = -1", que é justamente o valor proibido. C troca x > 2 por x < 2 e inclui \frac12.

Resposta

-2 < x < \frac12 ou x > 2, com x \neq -1.

Alternativa correta E