A área de um quadrado de lado x cm aumenta em 28 cm² se o seu lado for aumentado em 2 cm. Considerando que a medida da aresta de um tetraedro regular é igual ao lado x deste quadrado, então a altura h deste tetraedro vale
UCPel · 2017
Questão 21 — UCPel 2017
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Monte (x + 2)^2 - x^2 = 28: o x^2 some e sobra uma equação do 1º grau. A altura do tetraedro regular de aresta a é h = \frac{a\sqrt6}{3}.
Resolução
O que você precisa saber
- (x + 2)² = x² + 4x + 4.
- Altura do tetraedro regular de aresta a: h = a√6 / 3.
- Essa fórmula sai de Pitágoras com a aresta e o raio da circunferência circunscrita à base.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: achar a aresta x pela variação da área e calcular a altura do tetraedro regular.
ESTRUTURAR
• (x + 2)^2 - x^2 = 28.
• Aresta do tetraedro: a = x.
• h = \frac{a\sqrt6}{3}.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Resolver a equação e aplicar a fórmula da altura.
A armadilha: usar a altura de uma face (triângulo equilátero, \frac{a\sqrt3}{2} = 3\sqrt3) no lugar da altura do sólido.
CALCULAR
x^2 + 4x + 4 - x^2 = 28\Rightarrow 4x = 24\Rightarrow x = 6h = \frac{6\sqrt6}{3} = 2\sqrt6CONFERIR
Por Pitágoras: o centro da base fica a R = \frac{6\sqrt3}{3} = 2\sqrt3 de cada vértice. h^2 = 6^2 - (2\sqrt3)^2 = 36 - 12 = 24, h = 2\sqrt6 \approx 4{,}9. Alternativa C.
Por que as outras tentam: B (2\sqrt3) é o raio R da base, não a altura. A, D e E não saem das fórmulas do tetraedro com aresta 6 (E, 4\sqrt6 \approx 9{,}8, é maior que a própria aresta).
Resposta
h = 2\sqrt{6} cm.
Alternativa correta
C