Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Na figura a seguir, temos uma circunferência de raio r > 0 com centro na origem do plano complexo e, ao longo da circunferência, temos 6 números complexos: z_1, z_2, z_3, z_4, z_5, z_6. Supondo que os 6 números complexos são vértices de um hexágono regular e que z_1 está no eixo x, considere as seguintes equações:
1. z_2 + z_6 = r^2
2. \overline{z_3} = z_5
3. z_2 \cdot z_3 = z_4
4. \dfrac{z_5}{z_6} = \dfrac{z_6}{r}
Assinale a alternativa correta.
Escreva cada vértice na forma polar: z_k tem módulo r e argumento (k - 1) \cdot 60°. Lembre que o raio r é qualquer, não necessariamente 1.
O que a questão quer de verdade: testar cada igualdade para qualquer r > 0, não só para r = 1.
• z_1 = r (argumento 0°), z_2: 60°, z_3: 120°, z_4: 180°, z_5: 240°, z_6: 300°.
• Todos com módulo r.
Comparar módulo e argumento dos dois lados de cada igualdade.
A armadilha: pensar num círculo de raio 1. Com r = 1, as equações 1 e 3 também valem, e a resposta pareceria E. Para um raio qualquer, os módulos não batem.
1: z_2 e z_6 são conjugados, então z_2 + z_6 = 2r\cos 60° = r. Só é igual a r^2 se r = 1. Falsa em geral.
2: \overline{z_3} tem argumento -120° = 240° e módulo r: é z_5. Verdadeira.
3: z_2 \cdot z_3 tem módulo r^2 e argumento 180°, ou seja, -r^2. Já z_4 = -r. Falsa em geral.
4: \dfrac{z_5}{z_6} tem módulo 1 e argumento 240° - 300° = -60°. \dfrac{z_6}{r} tem módulo 1 e argumento 300° = -60°. Verdadeira.
Teste com r = 2: z_2 + z_6 = 2, mas r^2 = 4; z_2 z_3 = -4, mas z_4 = -2. As equações 1 e 3 falham, e 2 e 4 continuam valendo. Alternativa C.
Somente as equações 2 e 4 são verdadeiras.
