A probabilidade de se vencer uma partida de certo jogo é de 10%. Quantas partidas devem ser jogadas em sequência para que a probabilidade de que haja vitória em pelo menos uma delas seja superior a 99%? Se necessário, use \log(3) = 0{,}477.
UFPR · 2018
Questão 54 — UFPR 2018
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
"Pelo menos uma vitória" é o contrário de "nenhuma vitória". A chance de perder n partidas seguidas é 0{,}9^n.
Resolução
O que você precisa saber
- P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum).
- Partidas independentes: multiplique as probabilidades.
- log 0,9 = log 9 − log 10 = 2 log 3 − 1, que é negativo; ao dividir uma desigualdade por ele, o sinal inverte.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: o menor n com 0{,}9^n < 0{,}01.
ESTRUTURAR
1 - 0{,}9^n > 0{,}990{,}9^n < 0{,}01ESCOLHER ESTRATÉGIA
Aplicar log, usar \log 0{,}9 = 2 \cdot 0{,}477 - 1 = -0{,}046 e inverter o sinal ao dividir.
A armadilha: pensar que cada partida acrescenta 10% de chance e concluir que 10 partidas bastam (alternativa A). Com 10 partidas, a chance de ganhar pelo menos uma é só cerca de 65%.
CALCULAR
n \cdot \log 0{,}9 < \log 0{,}01 = -2n \cdot (-0{,}046) < -2n > \frac{2}{0{,}046} \approx 43{,}5Menor inteiro: n = 44.
CONFERIR
Com n = 44: \log 0{,}9^{44} = 44 \cdot (-0{,}046) = -2{,}024, então 0{,}9^{44} \approx 0{,}0095 < 0{,}01. Com n = 43: -1{,}978, e 0{,}9^{43} \approx 0{,}0105 > 0{,}01. Alternativa E.
Resposta
44 partidas.
Alternativa correta
E