Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Sobre as funções reais f(x) = \sqrt{x + 2} e g(x) = x^2 - 1, identifique as afirmativas a seguir como verdadeiras (V) ou falsas (F):
( ) O domínio da função f é \text{Dom}(f) = \{x \in \mathbb{R};\ x \ge 0\}.
( ) (f \circ g)(x) = \sqrt{x^2 + 1}.
( ) A imagem de f coincide com a imagem de g, ou seja, \text{Im}(f) = \text{Im}(g).
( ) Os gráficos dessas funções se cruzam apenas uma vez.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta, de cima para baixo.
Para a última frase, compare f e g em alguns pontos: x = -2, x = -1, x = 1 e x = 2. Se a diferença troca de sinal duas vezes, os gráficos se cruzam duas vezes.
O que a questão quer de verdade: julgar domínio, composta, imagem e número de interseções de uma raiz e de uma parábola.
• \text{Dom}(f): x + 2 \ge 0, ou seja, x \ge -2.
• \text{Im}(f) = [0, +\infty); \text{Im}(g) = [-1, +\infty).
• f(g(x)) = \sqrt{x^2 - 1 + 2}.
Julgar cada frase e, na última, procurar trocas de sinal de f - g.
A armadilha: na última frase, olhar só para x \ge 0, onde há um único cruzamento entre 1 e 2. Há outro cruzamento à esquerda, entre −2 e −1.
1ª: o domínio é x \ge -2, não x \ge 0. F.
2ª: f(g(x)) = \sqrt{x^2 + 1}. V.
3ª: g chega a -1 e f nunca é negativa. F.
4ª: f(-2) = 0 < g(-2) = 3; f(-1) = 1 > g(-1) = 0; f(1) \approx 1{,}73 > g(1) = 0; f(2) = 2 < g(2) = 3. Há um cruzamento em (-2, -1) e outro em (1, 2). F.
Sequência F – V – F – F. Só a alternativa A tem essa sequência; além disso, a 1ª frase já elimina B, C e E. Alternativa A.
F – V – F – F.
