O conjunto imagem da função real definida por
f(x) = \begin{cases} x, & \text{se } x \geq 1 \\ x + 1, & \text{se } -1 < x < 1 \\ -x, & \text{se } x \leq -1 \end{cases}é o intervalo
UCPel · 2019
Questão 21 — UCPel 2019
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Ache a imagem de cada pedaço separadamente, olhando os extremos de cada intervalo (aberto ou fechado), e depois faça a união.
Resolução
O que você precisa saber
- A imagem é o conjunto dos valores de y que a função realmente assume.
- Extremo aberto no domínio vira extremo aberto na imagem (para funções afins).
- A imagem total é a união das imagens dos pedaços.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: juntar os valores de y produzidos pelos três pedaços e ver se o 0 entra ou não.
ESTRUTURAR
• x \geq 1: f(x) = x dá [1, +\infty).
• -1 < x < 1: f(x) = x + 1 dá (0, 2), sem o 0 e sem o 2.
• x \leq -1: f(x) = -x dá [1, +\infty).
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Unir as três imagens: (0, 2) \cup [1, +\infty).
A armadilha: achar que f vale 0 em x = -1. Nesse ponto vale a 3ª lei, f(-1) = 1; o pedaço x + 1 só chega perto de 0, sem atingir.
CALCULAR
(0, 2) \cup [1, +\infty) = (0, +\infty)CONFERIR
Teste: f(-0{,}99) = 0{,}01 é positivo e pequeno; nenhum x dá f(x) = 0 nem valor negativo. A imagem é (0, +\infty). Alternativa E.
Por que as outras tentam: D inclui o 0, para quem calcula x + 1 em x = -1 sem olhar que o intervalo é aberto. A, B e C ignoram que todos os pedaços dão valores positivos.
Resposta
(0, +\infty).
Alternativa correta
E