Um cilindro de raio r está inscrito em uma esfera de raio 5, como indica a figura ao lado. Obtenha o maior valor de x, de modo que o volume desse cilindro seja igual a 72\pi.
UFPR · 2014
Questão 36 — UFPR 2014
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Pela figura, x é a metade da altura do cilindro e r^2 + x^2 = 25. Monte o volume em função de x e teste as alternativas inteiras.
Resolução
O que você precisa saber
- Volume do cilindro: πr²h.
- Aqui a altura do cilindro é 2x.
- Triângulo retângulo da figura: r² + x² = 5².
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: as raízes positivas de (25 - x^2) \cdot 2x = 72, e a maior delas.
ESTRUTURAR
V = \pi r^2 \cdot 2x = \pi(25 - x^2) \cdot 2x(25 - x^2) \cdot 2x = 72x^3 - 25x + 36 = 0ESCOLHER ESTRATÉGIA
Testar x = 4 (alternativa inteira), fatorar e comparar as outras raízes.
A armadilha: parar na primeira raiz encontrada. A equação tem duas raízes positivas, \sqrt{13} - 2 e 4, e as duas estão nas alternativas. A questão pede a maior.
CALCULAR
x = 4: 64 - 100 + 36 = 0. É raiz.
x^3 - 25x + 36 = (x - 4)(x^2 + 4x - 9)x^2 + 4x - 9 = 0 \ \Rightarrow \ x = -2 \pm \sqrt{13}Raízes positivas: \sqrt{13} - 2 \approx 1{,}61 e 4. A maior é 4.
CONFERIR
Com x = 4: r^2 = 25 - 16 = 9, altura 8, volume \pi \cdot 9 \cdot 8 = 72\pi. Confere, e x = 4 < 5 cabe na esfera. Alternativa E.
Resposta
4.
Alternativa correta
E