Os valores reais de x que satisfazem a inequação \sqrt{x + 5} < 1 + \sqrt{x - 2}, são
UCPel · 2018
Questão 22 — UCPel 2018
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Primeiro a condição de existência: x - 2 \geq 0. Como os dois lados são não negativos, pode elevar ao quadrado sem mudar o sentido.
Resolução
O que você precisa saber
- Raiz quadrada real exige radicando maior ou igual a 0.
- Se 0 ≤ A < B, então A² < B².
- (1 + √u)² = 1 + 2√u + u.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: resolver a inequação com raízes respeitando o domínio.
ESTRUTURAR
• Domínio: x \geq 2 (e então x + 5 > 0 também).
• Os dois lados são positivos: pode elevar ao quadrado.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Elevar ao quadrado, isolar a raiz que sobra e elevar de novo.
A armadilha: inverter o sentido no fim e marcar x < 11 (alternativa B).
CALCULAR
x + 5 < 1 + 2\sqrt{x - 2} + x - 26 < 2\sqrt{x - 2} \Rightarrow \sqrt{x - 2} > 3x - 2 > 9 \Rightarrow x > 11CONFERIR
Teste x = 18: \sqrt{23} \approx 4{,}80 < 1 + 4 = 5. Vale. Teste x = 6: \sqrt{11} \approx 3{,}32 < 1 + 2 = 3? Não. Em x = 11 os dois lados dão 4, não vale o "<". Alternativa E.
Por que as outras tentam: B, C e D vêm de inverter o sentido em \sqrt{x - 2} > 3. A mistura o domínio com o resultado invertido.
Resposta
x > 11.
Alternativa correta
E