Resolvendo o sistema de equações
\begin{cases} z + wi = i \\ zi + w = 2i - 1 \end{cases}onde i é a unidade imaginária, sendo z e w números complexos, pode-se afirmar que z^2 - w^2 vale
UCPel · 2018
Questão 18 — UCPel 2018
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Isole z na primeira equação e substitua na segunda. Use i^2 = -1.
Resolução
O que você precisa saber
- i² = −1.
- Sistemas com complexos se resolvem como os reais: substituição ou adição.
- (1 + i)² = 1 + 2i + i² = 2i.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: achar z e w e calcular z^2 - w^2.
ESTRUTURAR
• Da 1ª: z = i - wi.
• Na 2ª: (i - wi)i + w = 2i - 1.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Substituição e simplificação com i^2 = -1.
A armadilha: errar o sinal de -wi \cdot i = -wi^2 = +w.
CALCULAR
i^2 - wi^2 + w = 2i - 1\Rightarrow -1 + w + w = 2i - 1\Rightarrow w = iz = i - i \cdot i = i + 1z^2 - w^2 = (1 + i)^2 - i^2= 2i - (-1) = 1 + 2iCONFERIR
No sistema: (1 + i) + i \cdot i = 1 + i - 1 = i. Confere. (1 + i)i + i = i - 1 + i = 2i - 1. Confere. Alternativa E.
Por que as outras tentam: C (2i) é só z^2, sem tirar w^2. B (2i - 1) é z^2 + w^2, de quem erra o sinal de -i^2. A e D trocam sinais.
Resposta
z^2 - w^2 = 1 + 2i.
Alternativa correta
E