Em uma determinada competição de jogo de cartas, a regra é que certas cartas possuam valores numéricos que sigam uma progressão aritmética (PA). Definindo que a carta A tem o valor \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{12}\right), a carta B tem o valor x, a carta C tem o valor y, a carta D tem o valor z e a carta E tem o valor de \operatorname{sen}(75^\circ), qual deve ser o valor de y^2 - xz para qual os números das cartas A, B, C, D e E, nesta ordem, formem uma progressão aritmética (PA)?
Simulado Fuvest · 2027
Questão 56 — Simulado Fuvest 2027
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Com razão r, x = y - r e z = y + r. Então y^2 - xz = r^2.
Resolução
O que você precisa saber
- PA de 5 termos: a₅ − a₁ = 4r.
- sen 75° = cos 15° e π/12 = 15°.
- (cos θ − sen θ)² = 1 − sen 2θ.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: achar r^2.
ESTRUTURAR
4r = \operatorname{sen} 75^\circ - \operatorname{sen} 15^\circ4r = \cos 15^\circ - \operatorname{sen} 15^\circESCOLHER ESTRATÉGIA
Elevar ao quadrado para usar \operatorname{sen} 30^\circ.
A armadilha: esquecer o fator 4 entre o primeiro e o quinto termo e dividir só por 2.
CALCULAR
16r^2 = (\cos 15^\circ - \operatorname{sen} 15^\circ)^216r^2 = 1 - \operatorname{sen} 30^\circ = \frac{1}{2}y^2 - xz = r^2 = \frac{1}{32}CONFERIR
Numericamente: \cos 15^\circ - \operatorname{sen} 15^\circ \approx 0{,}966 - 0{,}259 = 0{,}707, r \approx 0{,}177 e r^2 \approx 0{,}0312 = \frac{1}{32}. Alternativa D, que confere com o gabarito oficial do simulado da Fuvest.
Resposta
\frac{1}{32}.
Alternativa correta
D