O cultivo em meio à floresta ganha força em diversos estados do Brasil. Considere uma certa região, cuja área de plantio A_n em km² cresce numa progressão aritmética em função do tempo dada por A_n = 50 + nr, em que n é dado em anos, e r é um número real positivo. Se em um ano N obtêm-se 80 km² de área plantada e em h anos após N obtêm-se 120 km² de plantio, é correto afirmar que
UFSM Prova 2 · 2025
Questão 19 — UFSM Prova 2 2025
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Escreva duas equações: A_N = 80 e A_{N+h} = 120. Isole Nr e hr e divida uma pela outra.
Resolução
O que você precisa saber
- Na PA Aₙ = 50 + n·r, cada ano soma r à área.
- "h anos após N" é o ano N + h.
- 5/4 = 1,25, 3/2 = 1,5, 4/3 ≈ 1,33.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: escrever h como múltiplo de N e ver em qual intervalo esse múltiplo cai.
ESTRUTURAR
• 50 + Nr = 80.
• 50 + (N + h)r = 120.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Subtrair as equações para achar hr e comparar com Nr; o r se cancela.
A armadilha: tratar h como o ano em que a área chega a 120 (e não como "anos após N"). Aí hr = 70 e h = \frac73 N, que não cabe em nenhuma alternativa: sinal de leitura errada.
CALCULAR
Nr = 30(N + h)r = 70 \Rightarrow hr = 70 - 30 = 40\frac{h}{N} = \frac{40}{30} = \frac43\Rightarrow h = \frac43 N \approx 1{,}33NCONFERIR
1{,}25 \le 1{,}33 < 1{,}5, então \frac54 N \le h < \frac32 N. Exemplo: r = 10 dá N = 3 e h = 4; 3{,}75 \le 4 < 4{,}5. Alternativa B.
Por que as outras tentam: A atrai quem acha que "o aumento seguinte" leva mais ou menos o mesmo tempo que o primeiro. C, D e E correspondem a razões h/N maiores, de quem soma ou subtrai errado as áreas.
Resposta
\dfrac54 N \le h < \dfrac32 N, porque h = \dfrac43 N.
Alternativa correta
B