Sendo a função g(x) = mx + n, com n, m \neq 0 e a P.A. \{g(1), g(a_2), g(a_3), \ldots, g(a_{90})\} tendo razão 6m, a soma dos termos da P.A. \{1, a_2, a_3, \ldots, a_{90}\} é
PAVE 1 · 2014
Questão 17 — PAVE 1 2014
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Subtraia dois termos vizinhos da primeira PA: g(a_{k+1}) - g(a_k) = m(a_{k+1} - a_k). Se isso vale 6m, qual é a razão da PA 1, a_2, a_3, \ldots?
Resolução
O que você precisa saber
- Numa função afim g(x) = mx + n, a diferença g(u) − g(v) é m · (u − v): o n se cancela.
- Termo geral da PA: aₖ = a₁ + (k − 1) · r.
- Soma da PA: S = (a₁ + aₙ) · n/2.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: a soma dos 90 termos da PA 1, a_2, \ldots, a_{90}, sabendo a razão da PA formada pelas imagens por g.
Nota editorial: esta questão foi anulada pela UFPel no gabarito definitivo. Na prova impressa, as alternativas aparecem com as letras (a), (b), (b), (c), (d), e o I.R. com a letra (e): há duas letras (b) e não existe a (f). Aqui as cinco alternativas estão na ordem da prova, com as letras de (a) a (e). O gabarito não traz o motivo da anulação, mas o erro de letras está visível e, sozinho, já deixa a marcação ambígua. A conta em si tem resposta (24120, a segunda alternativa da lista); a resolução abaixo serve como estudo.
ESTRUTURAR
• Razão da PA das imagens: g(a_{k+1}) - g(a_k) = m\,(a_{k+1} - a_k) = 6m.
• Como m \neq 0: a_{k+1} - a_k = 6. A PA 1, a_2, \ldots, a_{90} tem razão 6.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Achar a_{90} pelo termo geral e aplicar a soma da PA.
A armadilha: pensar que a razão da segunda PA também é 6m. A função g multiplica as diferenças por m; para voltar, divide-se por m.
CALCULAR
a_{90} = 1 + 89 \cdot 6 = 535S = \frac{(1 + 535) \cdot 90}{2} = 536 \cdot 45 = 24120CONFERIR
Outra forma: S = 90 \cdot 1 + 6 \cdot (0 + 1 + \cdots + 89) = 90 + 6 \cdot 4005 = 24120 ✓.
De onde vêm algumas das outras: 24570 é 6 \cdot (1 + 2 + \cdots + 90), como se os termos fossem 6, 12, \ldots, 540 (esquecendo que a PA começa em 1). 24030 é 6 \cdot (0 + 1 + \cdots + 89), que esquece de somar o 1 em cada termo.
Resposta
Questão anulada pela UFPel. Como estudo: a soma é 24120 (a segunda alternativa da lista, impressa como a primeira das duas letras (b)).