Sendo f(n) definida por f(0) = 1 e \frac{f(n+1)}{f(n)} = 3, quando n \in \mathbb{Z}_+, o valor da soma f(0) + f(1) + f(2) + \cdots + f(1000) é
PAVE 1 · 2014
Questão 16 — PAVE 1 2014
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Cada termo é o anterior vezes 3, começando em 1: é uma PG. Conte com cuidado quantos termos há de f(0) até f(1000).
Resolução
O que você precisa saber
- Se o quociente entre termos vizinhos é constante, a sequência é uma PG de razão q.
- Soma dos n primeiros termos da PG: S = a₁ · (qⁿ − 1)/(q − 1).
- De 0 até 1000 há 1001 números.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: a soma dos termos da PG 1, 3, 9, \ldots de f(0) até f(1000).
ESTRUTURAR
• f(n) = 3^n: PG com primeiro termo 1 e razão 3.
• Número de termos: de n = 0 a n = 1000, são 1001.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Usar a soma da PG finita com a_1 = 1, q = 3 e 1001 termos.
A armadilha: contar 1000 termos (porque o último é f(1000)). O f(0) também conta, e o expoente certo é 1001.
CALCULAR
S = 1 \cdot \frac{3^{1001} - 1}{3 - 1} = \frac{3^{1001} - 1}{2}CONFERIR
Teste com poucos termos: f(0) + f(1) + f(2) = 1 + 3 + 9 = 13, e a fórmula dá \frac{3^3 - 1}{2} = 13 ✓ (3 termos, expoente 3).
Por que as outras tentam: A troca o sinal do -1. E multiplica por q - 1 = 2 em vez de dividir. B e D são só o último termo (3^{1000}) ou a potência seguinte (3^{1001}), sem somar.
Resposta
\frac{3^{1001} - 1}{2}.
Alternativa correta
C