Três números inteiros positivos, A, B e C, formam, nessa ordem, uma progressão geométrica de produto 8, sendo que o dobro de A, o valor de C e o triplo de B constituem, nessa ordem, uma progressão aritmética.
Nessas condições, o valor de A + B + C é
PAVE 1 · 2015
Questão 19 — PAVE 1 2015
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Numa PG de três termos, o produto é o termo do meio ao cubo. Então B = 2. Escreva A = \frac{2}{q} e C = 2q e use a condição da PA: o termo do meio é a média dos extremos.
Resolução
O que você precisa saber
- PG de três termos: (B/q, B, B·q), e o produto é B³.
- PA de três termos (x, y, z): 2y = x + z.
- Inteiros positivos: descarte razões que geram termos negativos ou fracionários.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: os três números da PG (inteiros positivos) que também cumprem a condição da PA, e a soma deles.
ESTRUTURAR
• PG: A = \frac{2}{q}, B = 2, C = 2q, porque B^3 = 8.
• PA: (2A,\ C,\ 3B), então 2C = 2A + 3B.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Montar a equação em q, resolver e escolher a solução com inteiros positivos.
A armadilha: montar a PA com A, C e B (sem o dobro e o triplo) ou trocar a ordem: a PA é 2A, C, 3B, nessa ordem, e o termo do meio é C.
CALCULAR
2 \cdot 2q = 2 \cdot \frac{2}{q} + 3 \cdot 2 \iff 4q = \frac{4}{q} + 64q^2 - 6q - 4 = 0 \iff 2q^2 - 3q - 2 = 0 \iff q = 2 \text{ ou } q = -\frac12Com q = -\frac12, A = -4 e C = -1: não são positivos. Com q = 2: A = 1, B = 2, C = 4.
A + B + C = 1 + 2 + 4 = 7CONFERIR
PG 1, 2, 4: razão 2 e produto 8 ✓. PA 2A = 2, C = 4, 3B = 6: 2, 4, 6, razão 2 ✓.
Outra conferência: as PGs de inteiros positivos com produto 8 são (1, 2, 4), (2, 2, 2) e (4, 2, 1). Elas geram (2, 4, 6), (4, 2, 6) e (8, 1, 6); só a primeira é PA ✓.
Por que as outras tentam: nenhuma das outras somas (20, 10, 18, 16) vem de uma PG de inteiros positivos com produto 8, porque o B tem de ser 2 e A \cdot C = 4.
Resposta
A + B + C = 7.
Alternativa correta
E