A sequência (\log_5 x,\ y,\ \log_x 625) onde x > 0 e x \neq 1, forma uma progressão geométrica. Nessas condições, o(s) valor(es) de y é(são)
PAVE 1 · 2016
Questão 17 — PAVE 1 2016
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Numa PG de três termos, o termo do meio ao quadrado é o produto dos extremos. E \log_5 x \cdot \log_x 625 pode ser simplificado pela mudança de base.
Resolução
O que você precisa saber
- PG de três termos (a, b, c): b² = a · c.
- Mudança de base: log_a b · log_b c = log_a c.
- 625 = 5⁴, então log₅ 625 = 4.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: os valores de y que fazem (\log_5 x,\ y,\ \log_x 625) ser uma PG.
ESTRUTURAR
• Condição da PG: y^2 = \log_5 x \cdot \log_x 625.
• Mudança de base: \log_x 625 = \frac{\log_5 625}{\log_5 x}.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Simplificar o produto dos extremos e resolver y^2 = \ldots
A armadilha: tirar só a raiz positiva e marcar 2. Uma PG pode ter razão negativa, e y = -2 também serve.
CALCULAR
y^2 = \log_5 x \cdot \frac{\log_5 625}{\log_5 x} = \log_5 625 = \log_5 5^4 = 4y = \pm 2CONFERIR
Testando com x = 5: a sequência fica (1,\ y,\ 4). Com y = 2, é a PG 1, 2, 4 (razão 2); com y = -2, é a PG 1, -2, 4 (razão -2) ✓. O resultado não depende de x.
Por que as outras tentam: A (2) esquece a raiz negativa. B, C e E trabalham com 25 e 5, que aparecem quando se troca o logaritmo por uma raiz (\sqrt{625} = 25 e \sqrt{25} = 5); nenhum deles satisfaz y^2 = 4.
Resposta
y = 2 ou y = -2.
Alternativa correta
D