O valor numérico da expressão
\frac{\dfrac{1}{y}}{1 - \dfrac{1}{1 - \dfrac{1}{x}}}para x = 0{,}45222\ldots e y = 0{,}31888\ldots, é
PAVE 1 · 2014
Questão 15 — PAVE 1 2014
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Antes de pôr números, simplifique a fração de baixo para cima: 1 - \frac{1}{x}, depois o inverso, depois 1 - isso. A expressão vira algo bem simples em x e y.
Resolução
O que você precisa saber
- Dízima periódica composta: (número até o fim do 1º período − parte que não se repete) ÷ (tantos 9 quantos algarismos no período, seguidos de tantos 0 quantos algarismos fora do período, depois da vírgula).
- Dividir por uma fração é multiplicar pelo inverso dela.
- 1 − 1/x = (x − 1)/x.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: o valor da fração composta, com x e y dados como dízimas.
ESTRUTURAR
• Simplificar a expressão em x e y.
• Escrever x e y como frações.
• Substituir.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Simplificar primeiro: a expressão vira \frac{1 - x}{y}, e as dízimas só entram no fim.
A armadilha: errar o sinal ao simplificar 1 - \frac{x}{x - 1}. O resultado é -\frac{1}{x - 1} = \frac{1}{1 - x}, positivo para x < 1.
CALCULAR
1 - \frac{1}{x} = \frac{x - 1}{x} \implies \frac{1}{1 - \frac{1}{x}} = \frac{x}{x - 1}1 - \frac{x}{x - 1} = \frac{x - 1 - x}{x - 1} = \frac{-1}{x - 1} = \frac{1}{1 - x}\text{expressão} = \frac{1}{y} \div \frac{1}{1 - x} = \frac{1 - x}{y}Dízimas:
x = 0{,}45222\ldots = \frac{452 - 45}{900} = \frac{407}{900} \qquad y = 0{,}31888\ldots = \frac{318 - 31}{900} = \frac{287}{900}1 - x = \frac{493}{900} \implies \frac{1 - x}{y} = \frac{493}{900} \cdot \frac{900}{287} = \frac{493}{287}CONFERIR
Conta aproximada: 1 - x \approx 0{,}548 e y \approx 0{,}319; \frac{0{,}548}{0{,}319} \approx 1{,}72, e \frac{493}{287} \approx 1{,}72 ✓. O valor tem de ser positivo, porque 1 - x > 0 e y > 0.
Por que as outras tentam: A (-\frac{493}{287}) é o erro de sinal da simplificação, que dá \frac{x - 1}{y}. B e E invertem a fração. C (1) aparece quando se acha que a expressão se cancela inteira.
Resposta
\frac{493}{287}.
Alternativa correta
D