Sejam \mathbf{A}, \mathbf{B} e \mathbf{C} conjuntos. Sabendo que o número de elementos \mathbf{A} \cap \mathbf{C} é 30, o número de elementos \mathbf{B} \cap \mathbf{C} é 35 e o número de elementos \mathbf{A} \cap \mathbf{B} \cap \mathbf{C} é 15, é correto afirmar que o número de elementos (\mathbf{B} \cup \mathbf{A}) \cap \mathbf{C} é:
PAVE 1 · 2013
Questão 17 — PAVE 1 2013
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Distribua: (B \cup A) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C). Agora é uma união de dois conjuntos cuja interseção você conhece.
Resolução
O que você precisa saber
- Distributiva: (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C).
- n(X ∪ Y) = n(X) + n(Y) − n(X ∩ Y).
- (A ∩ C) ∩ (B ∩ C) = A ∩ B ∩ C.
Figura de apoio
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: quantos elementos de C estão em A ou em B.
ESTRUTURAR
• X = A \cap C, com n(X) = 30.
• Y = B \cap C, com n(Y) = 35.
• X \cap Y = A \cap B \cap C, com 15 elementos.
• Queremos n(X \cup Y).
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Usar a distributiva e depois a inclusão e exclusão.
A armadilha: somar 30 + 35 = 65 (não há essa alternativa) ou ficar só com um dos números. Os 15 elementos que estão em A, B e C ao mesmo tempo estão nos dois grupos e precisam ser descontados uma vez.
CALCULAR
n\big((B \cup A) \cap C\big) = n(A \cap C) + n(B \cap C) - n(A \cap B \cap C)= 30 + 35 - 15 = 50CONFERIR
Por regiões do diagrama dentro de C: só em A e C (fora de B): 30 - 15 = 15; só em B e C (fora de A): 35 - 15 = 20; nos três: 15. Total: 15 + 20 + 15 = 50 ✓.
Por que as outras tentam: A (30) e C (35) são só A \cap C ou só B \cap C. B (15) é a interseção tripla. E (40) não sai de uma conta natural com esses dados.
Resposta
50 elementos.
Alternativa correta
D