PAVE 1 · 2016

Questão 14 — PAVE 1 2016

Conjuntos: união e número de subconjuntos Fácil–média

Antes da resolução

Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.

Os conjuntos A, B e C = A \cap B têm, respectivamente, 12, 5 e 3 elementos. Nessas condições, o número de subconjuntos de A \cup B é

(A)

20.

(B)

2^{20}.

(C)

2^{14}.

(D)

14.

(E)

2^{28}.

(F)

I.R.

Resolução

O que você precisa saber

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B): os elementos comuns entram uma vez só.
Um conjunto com n elementos tem 2ⁿ subconjuntos (cada elemento entra ou não entra).
O conjunto vazio e o próprio conjunto também contam como subconjuntos.

INTERPRETAR

O que a questão quer de verdade: quantos subconjuntos tem A \cup B. Para isso, basta saber quantos elementos ele tem.

ESTRUTURAR

• n(A) = 12, n(B) = 5, n(A \cap B) = 3.

• Número de subconjuntos de um conjunto com n elementos: 2^n.

ESCOLHER ESTRATÉGIA

Calcular n(A \cup B) pelo princípio da inclusão e exclusão e usar 2^n.

A armadilha: somar os três números do enunciado (12 + 5 + 3 = 20). Os 3 elementos de C já estão dentro de A e de B; somar 12 + 5 já conta esses elementos duas vezes, e por isso é preciso subtrair 3, e não somar.

CALCULAR

n(A \cup B) = 12 + 5 - 3 = 14\text{número de subconjuntos} = 2^{14}

CONFERIR

Conferindo por partes: só em A há 12 - 3 = 9 elementos, só em B há 5 - 3 = 2, e nos dois há 3. Total: 9 + 2 + 3 = 14 ✓.

Por que as outras tentam: A (20) e B (2^{20}) somam os três números. D (14) é o número de elementos de A \cup B, e não o de subconjuntos. E (2^{28}) usa o dobro de 14 no expoente.

Resposta

2^{14} subconjuntos.

Alternativa correta C