Questão 15 PAVE 1 2019: Conjuntos numéricos: operações com intervalos reais (resolvida)

Sabendo que A é um conjunto de números que compõe um intervalo real dado por A = \{x \in \mathbb{R} \,/\, -3 \leq x \leq 2\}, que B é outro intervalo real, de tal forma que B = \,]-2, 3] e C que é outro conjunto de números definidos pelo intervalo real dado por C = \{x \in \mathbb{R} \,/\, x \leq 0\}, é correto afirmar que:

(A)

B \cup C = \,]-2, 3]

(B)

(A \cup C) \cap B = \,]-\infty, 2]

(C)

(A \cup B) \cap C = [-3, 0]

(D)

(A \cap C) \cup B = [-3, 0]

(E)

A \cap B = [-3, 3]

(F)

I.R.

Resolução

O que você precisa saber

União (∪) junta tudo o que está em pelo menos um dos conjuntos; interseção (∩) fica só com a parte comum.
Colchete virado para fora, como ]−2, indica extremo aberto: o −2 não pertence ao intervalo.
Numa expressão com parênteses, resolva o parêntese primeiro e só depois a outra operação.

INTERPRETAR

O que a questão quer de verdade: fazer cada operação entre intervalos e achar a única igualdade verdadeira.

ESTRUTURAR

• A = [-3, 2]: de -3 a 2, com os dois extremos.

• B = \,]-2, 3]: de -2 (aberto) a 3 (fechado).

• C = \,]-\infty, 0]: todos os números menores ou iguais a zero.

ESCOLHER ESTRATÉGIA

Calcular o lado esquerdo de cada alternativa com a reta numérica e comparar com o lado direito.

A armadilha: parar no parêntese. Em (b) e (d), o lado direito é exatamente o resultado do parêntese, sem a segunda operação.

CALCULAR

(a) B \cup C = \,]-\infty, 3]. Falsa.

(b) A \cup C = \,]-\infty, 2], e ]-\infty, 2] \cap B = \,]-2, 2]. Falsa.

(d) A \cap C = [-3, 0], e [-3, 0] \cup B = [-3, 3]. Falsa.

(e) A \cap B = \,]-2, 2]. Falsa.

CONFERIR

Teste com números: -3 está em A e em C, então está em (A \cup B) \cap C; 1 não é menor ou igual a zero, então não está. Isso bate com [-3, 0] ✓.

Por que as outras tentam: (a) é o próprio B, esquecendo a união com C. (b) é só A \cup C, sem a interseção com B. (d) é só A \cap C, sem a união com B. (e) troca a interseção pela união: [-3, 3] é A \cup B.

Resposta

(A \cup B) \cap C = [-3, 0].

Alternativa correta C