Questão 89 Fuvest 2024: Geometria espacial: volume de cilindro deitado parcialmente cheio (resolvida)

O reservatório de um caminhão-pipa tem a forma de um cilindro circular reto com eixo horizontal e dimensões internas de 6 metros de comprimento e 2 metros de diâmetro. Uma escola contratou o serviço do caminhão-pipa para abastecer sua caixa d’água. Após o abastecimento, o motorista percebeu que o reservatório do caminhão estava cheio até 3/4 de sua altura, conforme ilustrado na figura.

Qual foi o volume, em metros cúbicos, de água utilizada para abastecer a caixa d’água da escola, sabendo que o reservatório do caminhão estava cheio antes do abastecimento?

(A)

\left(2\pi - \frac{\sqrt{3}}{4}\right).

(B)

\left(2\pi - \frac{3\sqrt{3}}{2}\right).

(C)

\left(2\pi + \frac{3\sqrt{3}}{2}\right).

(D)

\left(4\pi + \frac{\sqrt{3}}{4}\right).

(E)

\left(4\pi + \frac{3\sqrt{3}}{2}\right).

Resolução

O que você precisa saber

Volume de prisma/cilindro deitado: área da seção × comprimento.
Área do segmento circular: área do setor − área do triângulo.
Área do setor de ângulo θ (rad) e raio r: θr²/2.

INTERPRETAR

O que a questão quer de verdade: o volume da parte vazia do tanque, acima de 1,5 m de altura.

ESTRUTURAR

• Raio r = 1 m; a água vai até 1,5 m de altura, 0,5 m acima do centro.

• A corda da superfície fica a 0,5 m do centro: \cos\frac{\theta}{2} = \frac{0{,}5}{1}, então \theta = 120° = \frac{2\pi}{3}.

ESCOLHER ESTRATÉGIA

Área do segmento de cima = setor de 120° − triângulo isósceles de lados 1, 1 e ângulo de 120°.

A armadilha: achar que 1/4 da altura vazia significa 1/4 do volume (\frac{1}{4} \cdot 6\pi = 1{,}5\pi). Num cilindro deitado, a seção não cresce na mesma proporção que a altura.

CALCULAR

Setor: \frac{1}{2} \cdot \frac{2\pi}{3} \cdot 1^2 = \frac{\pi}{3}.

Triângulo: \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \sin 120° = \frac{\sqrt{3}}{4}.

Segmento: \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4}.

Volume: 6\left(\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4}\right) = 2\pi - \frac{3\sqrt{3}}{2} m³.

CONFERIR

2\pi - \frac{3\sqrt{3}}{2} \approx 6{,}28 - 2{,}60 = 3{,}68 m³, cerca de 20% do tanque cheio (6\pi \approx 18{,}85 m³), menos que 1/4, como esperado pela parte estreita de cima. Alternativa B, que confere com o gabarito oficial da Fuvest.

Resposta

\left(2\pi - \frac{3\sqrt{3}}{2}\right) m³.

Alternativa correta B