O polinômio P(x) = x^3 - 3x^2 + 7x - 5 possui uma raiz complexa \xi cuja parte imaginária é positiva. A parte real de \xi^3 é igual a
Fuvest · 2017
Questão 87 — Fuvest 2017
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Teste x = 1: a soma dos coeficientes é zero. Depois divida por x - 1.
Resolução
O que você precisa saber
- Se a soma dos coeficientes é 0, então 1 é raiz.
- i² = −1 e i³ = −i.
- (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: achar \xi e elevar ao cubo.
ESTRUTURAR
P(x) = (x - 1)(x^2 - 2x + 5)ESCOLHER ESTRATÉGIA
Resolver x^2 - 2x + 5 = 0 e escolher a raiz com parte imaginária positiva.
A armadilha: errar o sinal de (2i)^3 = -8i ou de (2i)^2 = -4.
CALCULAR
x = \frac{2 \pm \sqrt{-16}}{2} = 1 \pm 2i\xi = 1 + 2i\xi^3 = 1 + 3(2i) + 3(2i)^2 + (2i)^3\xi^3 = 1 + 6i - 12 - 8i = -11 - 2iCONFERIR
\xi^2 = -3 + 4i e \xi^3 = (-3 + 4i)(1 + 2i) = -3 - 6i + 4i - 8 = -11 - 2i. Alternativa A, que confere com o gabarito oficial da Fuvest.
Resposta
-11.
Alternativa correta
A