Cláudia, Paulo, Rodrigo e Ana brincam entre si de amigo-secreto (ou amigo-oculto). Cada nome é escrito em um pedaço de papel, que é colocado em uma urna, e cada participante retira um deles ao acaso. A probabilidade de que nenhum participante retire seu próprio nome é
Fuvest · 2017
Questão 83 — Fuvest 2017
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Há 4! = 24 sorteios possíveis. Conte quantos não deixam ninguém com o próprio nome (permutações caóticas).
Resolução
O que você precisa saber
- Total de distribuições de 4 papéis: 4! = 24.
- Permutação caótica: ninguém fica na sua posição. Para 4 elementos, D₄ = 9.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: contar as permutações de 4 nomes sem nenhum ponto fixo.
ESTRUTURAR
D_4 = 4!\left(1 - 1 + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!}\right)ESCOLHER ESTRATÉGIA
Calcular D_4 e dividir por 24.
A armadilha: achar que a resposta é \left(\frac{3}{4}\right)^4, como se os sorteios fossem independentes.
CALCULAR
D_4 = 24 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24}\right)D_4 = 12 - 4 + 1 = 9P = \frac{9}{24} = \frac{3}{8}CONFERIR
Contagem direta: se Cláudia tira o nome de Paulo, há 3 jeitos de completar sem ponto fixo; o mesmo vale para Rodrigo e Ana, então 3 \cdot 3 = 9. Alternativa D, que confere com o gabarito oficial da Fuvest.
Resposta
\frac{3}{8}.
Alternativa correta
D