Função quadrática: máximo de soma de áreas no retânguloMédia–difícil
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
O retângulo ABCD, representado na figura, tem lados de comprimento AB = 3 e BC = 4. O ponto P pertence ao lado \overline{BC} e BP = 1. Os pontos R, S e T pertencem aos lados \overline{AB}, \overline{CD} e \overline{AD}, respectivamente. O segmento \overline{RS} é paralelo a \overline{AD} e intercepta \overline{DP} no ponto Q. O segmento \overline{TQ} é paralelo a \overline{AB}.
Sendo x o comprimento de \overline{AR}, o maior valor da soma das áreas do retângulo ARQT, do triângulo CQP e do triângulo DQS, para x variando no intervalo aberto ]0, 3[, é
(A)
\frac{61}{8}.
(B)
\frac{33}{4}.
(C)
\frac{17}{2}.
(D)
\frac{35}{4}.
(E)
\frac{73}{8}.
Pista
Ponha A na origem. A reta DP desce 3 em 3: a altura de Q é 4 - x. Escreva as três áreas em função de x.
Resolução
O que você precisa saber
Área do triângulo = base × altura ÷ 2.
Máximo de ax² + bx + c com a < 0 ocorre em x = −b/(2a).
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: montar a soma das áreas como função quadrática de x e achar o vértice.
Com x = 2{,}5: retângulo 2{,}5 \cdot 1{,}5 = 3{,}75, triângulo CQP= 0{,}75, triângulo DQS= 3{,}125; soma 7{,}625 = \frac{61}{8}. Alternativa A, que confere com o gabarito oficial da Fuvest.
