Considere o triângulo ABC no plano cartesiano com vértices A = (0, 0), B = (3, 4) e C = (8, 0). O retângulo MNPQ tem os vértices M e N sobre o eixo das abscissas, o vértice Q sobre o lado \overline{AB} e o vértice P sobre o lado \overline{BC}. Dentre todos os retângulos construídos desse modo, o que tem área máxima é aquele em que o ponto P é
Fuvest · 2014
Questão 43 — Fuvest 2014
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Use a altura h do retângulo como variável. Ache a abscissa de Q em AB e a de P em BC para essa altura.
Resolução
O que você precisa saber
- Equação da reta por dois pontos.
- Máximo de −ah² + bh em h = b/(2a).
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: a largura do retângulo em função da altura e o vértice da parábola da área.
ESTRUTURAR
AB: x = \frac{3h}{4} \qquad BC: x = 8 - \frac{5h}{4}\text{largura} = 8 - 2hESCOLHER ESTRATÉGIA
Área S(h) = h(8 - 2h), máxima em h = 2.
A armadilha: parar em h = 2 e não calcular a abscissa de P.
CALCULAR
S(h) = 8h - 2h^2, vértice em h = 2.
P em BC com y = 2: x = 8 - \frac{5 \cdot 2}{4} = \frac{11}{2}.
CONFERIR
Com h = 2: Q = (1{,}5;\ 2), P = (5{,}5;\ 2), largura 4 e área 8, metade da área do triângulo (16), como esperado no retângulo máximo. Alternativa D, que confere com o gabarito oficial da Fuvest.
Resposta
\left(\frac{11}{2}, 2\right).
Alternativa correta
D