O paralelepípedo reto-retângulo ABCDEFGH, representado na figura, tem medida dos lados AB = 4, BC = 2 e BF = 2.
O seno do ângulo H\hat{A}F é igual a
Fuvest · 2017
Questão 81 — Fuvest 2017
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
O triângulo AHF tem os três lados como diagonais de faces. Calcule os três e use a lei dos cossenos.
Resolução
O que você precisa saber
- Diagonal de um retângulo de lados p e q: √(p² + q²).
- Lei dos cossenos: a² = b² + c² − 2bc cos α.
- sen²α + cos²α = 1.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: o ângulo em A do triângulo AHF.
ESTRUTURAR
AH = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2}AF = \sqrt{4^2 + 2^2} = 2\sqrt{5}HF = \sqrt{4^2 + 2^2} = 2\sqrt{5}ESCOLHER ESTRATÉGIA
Lei dos cossenos com o lado oposto HF para achar \cos, depois o seno.
A armadilha: achar que o triângulo é retângulo em A. Não é.
CALCULAR
20 = 8 + 20 - 2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{5} \cdot \cos\alpha8\sqrt{10}\cos\alpha = 8\cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{10}}\operatorname{sen}\alpha = \sqrt{1 - \frac{1}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}}CONFERIR
Com vetores a partir de A: \vec{AH} = (0, 2, 2) e \vec{AF} = (4, 0, 2), produto escalar 4, e \cos\alpha = \frac{4}{2\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{10}}. Alternativa E, que confere com o gabarito oficial da Fuvest.
Resposta
\frac{3}{\sqrt{10}}.
Alternativa correta
E