Sejam a e b dois números inteiros positivos. Diz-se que a e b são equivalentes se a soma dos divisores positivos de a coincide com a soma dos divisores positivos de b. Constituem dois inteiros positivos equivalentes:
Fuvest · 2017
Questão 80 — Fuvest 2017
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Liste os divisores de cada número e some. Não esqueça do 1 e do próprio número.
Resolução
O que você precisa saber
- Divisores positivos de n: todos os inteiros positivos que dividem n, incluindo 1 e n.
- Potência de primo pᵏ tem divisores 1, p, p², …, pᵏ.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: achar o par com a mesma soma de divisores.
ESTRUTURAR
\sigma(n) = soma dos divisores positivos de n.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Calcular \sigma dos dois números de cada alternativa.
A armadilha: esquecer o próprio número na lista de divisores.
CALCULAR
a) \sigma(8) = 1 + 2 + 4 + 8 = 15 e \sigma(9) = 1 + 3 + 9 = 13.
b) \sigma(9) = 13 e \sigma(11) = 12.
c) \sigma(10) = 18 e \sigma(12) = 28.
d) \sigma(15) = 24 e \sigma(20) = 42.
e) \sigma(16) = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31 e \sigma(25) = 1 + 5 + 25 = 31.
CONFERIR
Só em e) as somas coincidem (31 e 31). Alternativa E, que confere com o gabarito oficial da Fuvest.
Resposta
16 e 25.
Alternativa correta
E