Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
O organizador de uma competição de lançamento de dardos pretende tornar o campeonato mais competitivo. Pelas regras atuais da competição, numa rodada, o jogador lança 3 dardos e pontua caso acerte pelo menos um deles no alvo. O organizador considera que, em média, os jogadores têm, em cada lançamento, \frac{1}{2} de probabilidade de acertar um dardo no alvo.
A fim de tornar o jogo mais atrativo, planeja modificar as regras de modo que a probabilidade de um jogador pontuar em uma rodada seja igual ou superior a \frac{9}{10}. Para isso, decide aumentar a quantidade de dardos a serem lançados em cada rodada.
Com base nos valores considerados pelo organizador da competição, a quantidade mínima de dardos que devem ser disponibilizados em uma rodada para tornar o jogo mais atrativo é
(A)
2.
(B)
4.
(C)
6.
(D)
9.
(E)
10.
Pista
Pontuar é acertar pelo menos um. É mais fácil calcular o contrário: errar todos, que tem chance \left(\frac{1}{2}\right)^n.
Resolução
O que você precisa saber
"Pelo menos um" = 1 menos a chance de nenhum.
Lançamentos independentes: as probabilidades se multiplicam.
Se cada dardo erra com chance de um meio, errar n dardos tem chance de um meio elevado a n.
Figura de apoio
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: o menor n com 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n \ge \frac{9}{10}.
ESTRUTURAR
• Chance de errar um dardo: \frac{1}{2}.
• Chance de errar todos os n dardos: \frac{1}{2^n}.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Testar valores de n até a chance de errar todos ficar menor ou igual a \frac{1}{10}.
A armadilha: achar que 3 dardos já bastam, pois \frac{7}{8} = 87{,}5\% parece perto de 90%, ou multiplicar a chance de acertar em vez de usar o complementar.
Com 4 dardos, a chance de errar todos é \frac{1}{16} = 6{,}25\%, menor que 10%. Com 3, ainda é 12,5%.
Resposta
4 dardos.
Alternativa corretaB
Lendo pela Matriz do ENEMPor que esta é uma questão da H30 e como isso te ajuda a resolverAbra depois de tentar. O texto mostra a resposta.
H30 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos de estatística e probabilidade.
Em palavras de salaAlguém vai agir (contratar, vacinar, comprar, ajustar uma nota) para que uma média ou uma probabilidade chegue a uma meta. Você monta a medida com a incógnita e acha o mínimo ou o máximo que cumpre a meta.
Por que é H30
O organizador muda o número de dardos para a chance de pontuar chegar a uma meta. Avaliar propostas de intervenção com conhecimentos de probabilidade é a H30.
A H30 nesta questão
Muda o número de dardos. Fica fixa a chance de 1/2 por lançamento. A meta é 1 − (1/2)ⁿ ≥ 9/10, ou errar tudo com chance até 1/10. Com 3 dardos isso dá 1/8 e com 4 dá 1/16. Bastam 4.
O que muda na hora de resolver
A H30 pede para escrever a meta com o evento certo. "Pelo menos um" pede o complementar. Com 3 dardos a chance é 87,5% e parece perto, mas não chega. Só 17% acertaram.
