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ENEM · 2018

Questão 174 — ENEM 2018

Função exponencial e logaritmos Difícil

Antes da resolução

Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.

Com o avanço em ciência da computação, estamos próximos do momento em que o número de transistores no processador de um computador pessoal será da mesma ordem de grandeza que o número de neurônios em um cérebro humano, que é da ordem de 100 bilhões.

Uma das grandezas determinantes para o desempenho de um processador é a densidade de transistores, que é o número de transistores por centímetro quadrado. Em 1986, uma empresa fabricava um processador contendo 100 000 transistores distribuídos em 0,25 cm² de área. Desde então, o número de transistores por centímetro quadrado que se pode colocar em um processador dobra a cada dois anos (Lei de Moore).

Disponível em: www.pocket-lint.com. Acesso em: 1 dez. 2017 (adaptado).

Considere 0,30 como aproximação para \log_{10} 2.

Em que ano a empresa atingiu ou atingirá a densidade de 100 bilhões de transistores?

(A)

1999

(B)

2002

(C)

2022

(D)

2026

(E)

2146

Resolução

O que você precisa saber

Densidade: transistores por cm², ou seja, transistores divididos pela área.
Dobrar n vezes é multiplicar por 2 elevado a n.
Cada dobra leva 2 anos.

INTERPRETAR

O que a questão quer de verdade: quantas dobras levam a densidade de 1986 até 100 bilhões por cm², e em que ano isso acontece.

ESTRUTURAR

• 1986: 100 000 transistores em 0,25 cm².

• A densidade dobra a cada 2 anos.

• Meta: densidade de 100 bilhões por cm².

• \log_{10} 2 \approx 0{,}30.

ESCOLHER ESTRATÉGIA

Montar \text{densidade inicial} \cdot 2^n = 10^{11}, resolver com logaritmo e somar 2n anos a 1986.

A armadilha: usar 100 000 transistores como se fosse a densidade. Isso dá 20 dobras, 40 anos e o ano de 2026 (alternativa D). Em 0,25 cm², a densidade já é 4 vezes maior.

CALCULAR

\text{densidade em 1986} = \frac{100\,000}{0{,}25} = 400\,000 = 4 \cdot 10^54 \cdot 10^5 \cdot 2^n = 10^{11} \;\Rightarrow\; 2^n = \frac{10^6}{4}n \cdot 0{,}30 = 6 - 2 \cdot 0{,}30 = 5{,}4 \;\Rightarrow\; n = 1818 \text{ dobras} \cdot 2 \text{ anos} = 36 \text{ anos} \qquad 1986 + 36 = 2022

CONFERIR

Com \log_{10} 2 = 0{,}30, temos 2^{10} \approx 10^3 e 2^{18} = 2^{10} \cdot 2^8 \approx 1\,000 \cdot 256 = 256\,000. Então 4 \cdot 10^5 \cdot 256\,000 \approx 10^{11} ✓.

Resposta

2022

Alternativa correta C

Lendo pela Matriz do ENEMPor que esta é uma questão da H17 e como isso te ajuda a resolverAbra depois de tentar. O texto mostra a resposta.

H17 Analisar informações envolvendo a variação de grandezas como recurso para a construção de argumentação.

Em palavras de salaAparecem opções com números diferentes (jogadores, filtros, produtos, rotas) e uma conclusão para tirar. O argumento certo quase sempre é uma razão: por jogada, por dia, por quilômetro. Você compara taxas, não totais.

Por que é H17

A densidade dobra a cada dois anos, e a resposta é o ano em que chega a uma meta. Analisar a variação de grandezas para construir o argumento é a H17.

A H17 nesta questão

Densidade em 1986: 100 000/0,25 = 4 · 10⁵ por cm². A meta pede 2ⁿ = 10¹¹/(4 · 10⁵) = 2,5 · 10⁵. Com logs: n · 0,30 = 5,4, e n = 18 dobras, ou 36 anos: 2022.

O que muda na hora de resolver

A H17 pede a grandeza que dobra, a densidade. Quem usa os 100 000 transistores como densidade chega a 2026.

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