Questão 37 — Colégio Tiradentes 2025

Teorema de Tales Média

Antes da resolução

Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.

Na figura a seguir, DE // AB. Todas as medidas estão em centímetros.

O perímetro do triângulo ABC mede, em centímetros:

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

Resolução

O que você precisa saber

Teorema de Tales no triângulo: uma reta paralela a um lado divide os outros dois lados na mesma razão.
Perímetro do triângulo ABC: AB + BC + CA, com os lados inteiros, não só os pedaços.
Os ângulos alfa iguais em D e A confirmam a paralela.

INTERPRETAR

O que a questão quer de verdade: o perímetro do triângulo grande ABC. Para isso, falta descobrir x.

ESTRUTURAR

• Lado CA: 5 + x. Lado CB: 7 + (x + 4). Lado AB: 9.

• Tales: \dfrac{CD}{DA} = \dfrac{CE}{EB} \;\Rightarrow\; \dfrac{5}{x} = \dfrac{7}{x + 4}

ESCOLHER ESTRATÉGIA

Achar x pela proporção de Tales, montar os três lados e somar.

A armadilha: usar só os pedaços inferiores (x e x + 4) como se fossem os lados, ou somar o perímetro do triângulo pequeno CDE.

CALCULAR

5(x + 4) = 7x \;\Rightarrow\; 5x + 20 = 7x \;\Rightarrow\; x = 10CA = 5 + 10 = 15CB = 7 + 14 = 21AB = 92p = 15 + 21 + 9 = 45 \text{ cm}

CONFERIR

As razões batem: \tfrac{5}{10} = \tfrac{7}{14} = \tfrac{1}{2} ✓. Então cada lado do triângulo CDE é um terço do lado correspondente do ABC (CD = 5 de CA = 15), e DE = y = 9 ÷ 3 = 3, um valor coerente com a figura. Atenção: são os lados que ficam com um terço; a área de CDE é \tfrac{1}{3} \cdot \tfrac{1}{3} = \tfrac{1}{9} da área de ABC.

Resposta

45 cm.

Alternativa correta A