A soma de todos os valores possíveis de b e c que satisfazem a igualdade (a - b)² + (a - c)² = 2a² - 2a + 25 é: A) 0 B) 2 C) 6 D) 4 E) 8

Alternativa B. A soma de todos os valores possíveis de b e c é 2.

Colégio Tiradentes · 2021

Questão 29 — Colégio Tiradentes 2021

Produtos notáveis: identidade de polinômios Difícil

Antes da resolução

Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.

A soma de todos os valores possíveis de b e c que satisfazem a igualdade

(a - b)^2 + (a - c)^2 = 2a^2 - 2a + 25

é:

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

O que você precisa saber

(a − b)² = a² − 2ab + b².
Para a igualdade valer para todo a, os termos de mesmo tipo dos dois lados precisam ser iguais.
Dois números com soma 1 e soma dos quadrados 25 podem ser achados por tentativa.

O que a questão quer de verdade: descobrir os valores de b e c que fazem a igualdade valer para qualquer a, e somar todos esses valores.

Lado esquerdo desenvolvido:

2a^2 - 2a(b + c) + (b^2 + c^2)

Comparando com 2a^2 - 2a + 25:

• b + c = 1

• b^2 + c^2 = 25

Achar dois números com soma 1 e soma dos quadrados 25. Depois listar todas as possibilidades para b e para c.

A armadilha: responder só b + c = 1, que nem está nas alternativas. Os valores podem trocar de lugar: b pode ser 4 ou −3, e c também.

Testando: 4 + (-3) = 1 e 16 + 9 = 25. ✓

Então há duas possibilidades: b = 4, c = -3 ou b = -3, c = 4.

Valores possíveis de b: 4 e −3. Valores possíveis de c: −3 e 4.

4 + (-3) + (-3) + 4 = 2

Com b = 4, c = -3 e a = 0: 16 + 9 = 25 e o lado direito dá 25. ✓ Com a = 1: 9 + 16 = 25 e 2 - 2 + 25 = 25. ✓

Resposta

A soma de todos os valores possíveis de b e c é 2.

Alternativa correta B