Se a soma das raízes da equação x^2 - 15x + 54 = 0 é igual ao perímetro de um triângulo equilátero e a maior raiz subtraída da menor é igual à diagonal de um quadrado, então a razão entre a área do triângulo e a área do quadrado é de:
Colégio Tiradentes · 2015
Questão 34 — Colégio Tiradentes 2015
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
As raízes são 6 e 9. O triângulo tem perímetro 15; o quadrado tem diagonal 3.
Resolução
O que você precisa saber
- Área do triângulo equilátero de lado ℓ: ℓ²√3 ÷ 4.
- Área do quadrado pela diagonal d: d² ÷ 2.
- Soma das raízes: −b ÷ a.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: área do triângulo dividida pela área do quadrado.
ESTRUTURAR
• Raízes: 6 e 9 (soma 15, produto 54).
• Triângulo: lado 15 \div 3 = 5, área \tfrac{25\sqrt{3}}{4}.
• Quadrado: diagonal 9 - 6 = 3, área \tfrac{3^2}{2} = \tfrac{9}{2}.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Dividir as áreas.
A armadilha: parar na área do triângulo e marcar B.
CALCULAR
\frac{\tfrac{25\sqrt{3}}{4}}{\tfrac{9}{2}} = \frac{25\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{2}{9} = \frac{25\sqrt{3}}{18}CONFERIR
Lado do quadrado: \tfrac{3}{\sqrt{2}}, e \left(\tfrac{3}{\sqrt{2}}\right)^2 = \tfrac{9}{2}. ✓
Resposta
A razão é \tfrac{25\sqrt{3}}{18}.
Alternativa correta
C