Volume do cilindro e do cone: relação entre altura e raioMédia
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Dentre as atribuições de um profissional da engenharia, o dimensionamento de estruturas é uma tarefa comum e importante, pois permite determinar as medidas de um produto que satisfaçam as necessidades e exigências do mercado.
Suponha que um profissional da engenharia deva construir um reservatório cuja estrutura é composta pela sobreposição de um cilindro e um cone, ambos retos e com o mesmo raio da base, como ilustra a figura a seguir.
Um cliente solicitou que a estrutura fosse construída de tal maneira que a altura do cone fosse igual à metade da altura do cilindro e que a capacidade total do reservatório fosse de 217 m³.
Supondo que todas as medidas sejam tomadas em metros, assinale a alternativa que apresenta a relação entre a altura (h) do cilindro e o raio (r) da base, para que a solicitação do cliente seja atendida. Nos cálculos, utilize o valor 3,1 como aproximação para π.
(A)
h = \dfrac{60}{r^2}
(B)
h = \dfrac{120}{r^2}
(C)
h = \dfrac{r^2}{60}
(D)
h = \dfrac{r^2}{120}
(E)
h = \dfrac{r}{2}
Pista
Volume total = volume do cilindro (\pi r^2 h) + volume do cone com altura \frac{h}{2}. Coloque \pi r^2 h em evidência.
Resolução
O que você precisa saber
Volume do cilindro: V = π r² h.
Volume do cone: V = (1/3) π r² · (altura do cone).
Isolar h deixa r² no denominador.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: uma fórmula de h em função de r para que o volume total seja 217 m³.
ESTRUTURAR
V = \pi r^2 h + \frac13 \pi r^2 \cdot \frac{h}{2} = 217
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Pôr \pi r^2 h em evidência, usar \pi = 3{,}1 e isolar h.
A armadilha: usar a altura do cone igual a h (dá \frac43 \pi r^2 h = 217 e h \approx 52{,}5/r^2, fora das alternativas) ou esquecer o \frac13 do cone (dá h \approx 46{,}7/r^2).
CALCULAR
\pi r^2 h\left(1 + \frac16\right) = \frac76 \pi r^2 h = 217r^2 h = \frac{217 \cdot 6}{7 \cdot 3{,}1}= \frac{1\,302}{21{,}7} = 60\Rightarrow h = \frac{60}{r^2}
CONFERIR
Teste: r = 2 dá h = 15 e cone de altura 7,5. Cilindro: 3{,}1 \cdot 4 \cdot 15 = 186; cone: \frac13 \cdot 3{,}1 \cdot 4 \cdot 7{,}5 = 31. Total 217 m³. Alternativa A.
