Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Na figura abaixo, o triângulo ABC é equilátero de lado 4. O ponto D pertence ao lado AB, o ponto E pertence ao lado BC, o ponto F pertence ao lado AC, e os segmentos AD, BE e CF têm medida x.
A função A(x) que expressa a área do triângulo equilátero DEF, para 0 \le x \le 4, é
Olhe o canto A: AD = x, AF = 4 − x e o ângulo entre eles é 60°. A Lei dos Cossenos dá o lado DF.
O que a questão quer de verdade: o lado DF em função de x, para usar a área do equilátero.
• No canto A: AD = x e AF = 4 - CF = 4 - x.
• Ângulo em A: 60°.
Lei dos Cossenos no triângulo ADF.
A armadilha: esquecer o termo do cosseno e usar Pitágoras. O ângulo em A é 60°, não 90°.
x = 0: A = \frac{\sqrt3}{4}\cdot 16 = 4\sqrt3, a área do próprio ABC ✓. x = 2: DEF liga os pontos médios, tem lado 2 e área \sqrt3; a fórmula dá \frac{\sqrt3}{4}(12 - 24 + 16) = \sqrt3 ✓.
Por que as outras tentam: a alternativa C também dá 4\sqrt3 em x = 0, mas em x = 2 dá -5\sqrt3, uma área negativa.
A(x) = \frac{\sqrt{3}}{4}(3x^2 - 12x + 16).
