A área da região compreendida entre os gráficos das funções f(x) e g(x), definidas por f(x) = |x - 2| + 1 e g(x) = -|x| + 5, é
UFRGS · 2022
Questão 57 — UFRGS 2022
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Os dois gráficos são "V": f com bico para baixo em (2, 1) e g com bico para cima em (0, 5). Ache onde eles se cruzam e desenhe a região.
Resolução
O que você precisa saber
- O gráfico de |x − k| + c é um V com vértice em (k, c).
- Retas de inclinação 1 e −1 são perpendiculares.
- A área do retângulo é o produto dos lados, e a distância entre pontos sai por Pitágoras.
Figura de apoio
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: a área da região fechada pelos dois V, que é um retângulo.
ESTRUTURAR
• f: vértice (2, 1), lados de inclinação -1 e 1.
• g: vértice (0, 5), lados de inclinação 1 e -1.
• Interseções: x = -1 dá f = g = 4; x = 3 dá f = g = 2.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Achar os quatro vértices da região e calcular os lados.
A armadilha: tratar a região como um triângulo ou usar a "base" de -1 a 3 vezes a altura de 1 a 5, que dá 16 e não está nas alternativas. A região é um retângulo inclinado.
CALCULAR
Vértices: (-1, 4), (0, 5), (3, 2) e (2, 1).
\text{lados: } \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt2 \quad \text{e} \quad \sqrt{3^2 + 3^2} = 3\sqrt2A = \sqrt2 \cdot 3\sqrt2 = 6CONFERIR
Pela fórmula do polígono (laço) com os vértices em ordem (-1,4), (0,5), (3,2), (2,1): \frac12\left|(-5 - 0) + (0 - 15) + (3 - 4) + (8 - (-1))\right| = \frac12 \cdot |-12| = 6 ✓.
Por que as outras tentam: quem não desenha os gráficos tende a tratar a região como um triângulo ou como um retângulo de lados horizontais e verticais. O retângulo de lados horizontais e verticais que envolve a região tem área 4 \cdot 4 = 16, e a região ocupa só 6 dele.
Resposta
6.
Alternativa correta
B