Se x - y = 2 e x^2 + y^2 = 8, então x^3 - y^3 é igual a
UFRGS · 2017
Questão 29 — UFRGS 2017
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2). Falta só o xy: tire de (x - y)^2.
Resolução
O que você precisa saber
- x³ − y³ = (x − y)(x² + xy + y²).
- (x − y)² = x² − 2xy + y².
- Não é preciso achar x e y, só as combinações que aparecem.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: o valor de x^3 - y^3 a partir de x - y e x^2 + y^2.
ESTRUTURAR
x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + y^2 + xy)Conhecemos x - y = 2 e x^2 + y^2 = 8. Falta xy.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Achar xy pelo quadrado da diferença e substituir.
A armadilha: esquecer o xy na fatoração e fazer 2 \cdot 8 = 16.
CALCULAR
(x - y)^2 = x^2 + y^2 - 2xy \Rightarrow 4 = 8 - 2xy \Rightarrow xy = 2x^3 - y^3 = 2 \cdot (8 + 2) = 20CONFERIR
Com x = 1 + \sqrt3 e y = -1 + \sqrt3: x - y = 2 e x^2 + y^2 = (4 + 2\sqrt3) + (4 - 2\sqrt3) = 8. Então x^3 - y^3 = (10 + 6\sqrt3) - (-10 + 6\sqrt3) = 20 ✓.
Por que as outras tentam: C (16) é (x - y)(x^2 + y^2), sem o termo xy.
Resposta
20.
Alternativa correta
E