Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
O uso de artifícios matemáticos nos permite escrever uma expressão de uma forma mais simplificada. Assim, se manipularmos a expressão usando alguns desses artifícios, como por exemplo, fatoração, produtos notáveis e simplificação, a expressão
\frac{b\sqrt{a} - 2b - \sqrt{a} + 2}{a\sqrt{b} - 4\sqrt{b} - a + 4}pode ser reescrita da seguinte forma:
No numerador, agrupe b(\sqrt{a} - 2) e -(\sqrt{a} - 2). No denominador, \sqrt{b}(a - 4) e -(a - 4).
O que a questão quer de verdade: fatorar numerador e denominador e cancelar o que for igual.
Numerador: b\left(\sqrt{a} - 2\right) - \left(\sqrt{a} - 2\right) = (b - 1)\left(\sqrt{a} - 2\right)
Denominador: \sqrt{b}\,(a - 4) - (a - 4) = (a - 4)\left(\sqrt{b} - 1\right)
Escrever b - 1 e a - 4 como diferenças de quadrados e cancelar.
A armadilha: parar no meio do caminho e escolher uma alternativa com sinais trocados.
Teste com a = 9 e b = 4: numerador 4 \cdot 3 - 8 - 3 + 2 = 3; denominador 9 \cdot 2 - 8 - 9 + 4 = 5. A expressão vale \tfrac{3}{5}, e \tfrac{2 + 1}{3 + 2} = \tfrac{3}{5}. ✓
A expressão é \dfrac{\sqrt{b} + 1}{\sqrt{a} + 2}.
