A interseção dos gráficos das funções f e g, definidas por f(x) = |x| e g(x) = 1 - |x|, os quais são desenhados no mesmo sistema de coordenadas cartesianas, determina um polígono.
A área desse polígono é
UFRGS · 2013
Questão 31 — UFRGS 2013
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Desenhe o V de |x| e o V invertido de 1 - |x|, que tem vértice em (0, 1). Onde eles se cruzam?
Resolução
O que você precisa saber
- O gráfico de módulo de x é um V com vértice na origem.
- 1 menos módulo de x é um V invertido com vértice em (0, 1).
- A área de um losango (ou quadrado) é o produto das diagonais dividido por 2.
Figura de apoio
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: achar a região fechada entre os dois gráficos e calcular sua área.
ESTRUTURAR
|x| = 1 - |x| dá |x| = \tfrac12: pontos (\tfrac12, \tfrac12) e (-\tfrac12, \tfrac12). Os outros vértices são (0, 0) e (0, 1).
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Usar as diagonais do quadrilátero (são perpendiculares).
A armadilha: calcular só a metade do lado direito (x ≥ 0) e esquecer a simetria.
CALCULAR
Diagonal vertical: de (0, 0) a (0, 1), mede 1. Diagonal horizontal: de (-\tfrac12, \tfrac12) a (\tfrac12, \tfrac12), mede 1.
A = \frac{1 \cdot 1}{2} = 0{,}5CONFERIR
Os lados têm inclinação 1 e −1, então os ângulos são retos: é um quadrado de lado \tfrac{\sqrt2}{2}, e (\tfrac{\sqrt2}{2})^2 = 0{,}5 ✓.
Por que as outras tentam: B (0,25) é a área só da parte com x ≥ 0, o triângulo de vértices (0, 0), (½, ½) e (0, 1).
Resposta
0,5.
Alternativa correta
C